Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T
1. Tích phân suy rộng loại 1 (infinite limits of integration): New Update
1.1 Định nghĩa:
Giả sử f(x) xác định trên [a;+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):
Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+∞).
Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng là hội tụ (integral is convergent)
Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phân suy rộng là phân kỳ (integral is divergent).
Thật vậy ta có:
Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:
Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:
Thế vào (*) ta có:
1.2 Định nghĩa:
1.3 Tích phân quan trọng:
Chứng minh:
Với s > 1. Khi đó:
Vậy chuỗi hội tụ.
Với s =1: theo ví dụ trên ta có chuỗi phân kỳ.
Với s < 1:
Vậy chuỗi phân kỳ.
1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0
1.4.1 Định lý so sánh 1:
Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn). Khi đó:
1.4.2 Định lý so sánh 2:
Giả sử f(x) và g(x) không âm và cùng khả tích trên [a,b], và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn).
Nhận xét:
– Để xét sự hội tụ của tích phân , ta cần xây dựng hàm g(x) sao cho
. Nghĩa là, f(x) và g(x) là hai lượng tương đương.
Muốn vậy, ta cần nhận diện và thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) có trong f(x) bằng các VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý cả hai hàm f(x) và g(x) phải cùng khả tích trên [a; + ∞).
1.5 Các ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:
Ví dụ 1
Rõ ràng: hàm là hàm số dương, xác định và liên tục với mọi x thuộc
.
Khi : lnx là VCL nhưng không tìm được VCL tương đương tương ứng. Vì vậy, ta không dùng dấu hiệu so sánh 2.
Ta có thể dùng dấu hiệu so sánh 1. Muốn vậy, cần chặn hàm lnx. Ta dễ dàng có bất đẳng thức sau:
Vậy:
Vậy tích phân đã cho phân kỳ.( do tích phân phân kỳ).
Ví dụ 3
Xem xét hàm lấy tích phân, ta thấy:
Vậy:
Mà f(x) và g(x) cùng khả tích trên [1;+∞) nên và
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Mặt khác: hội tụ. (do s = 7/6 > 1)
Vậy tích phân I3 hội tụ.
Ví dụ 4.
Tuy nhiên, f(x) xác định và liên tục với mọi , còn g(x) không xác định tại x = 0 nên ta chưa thể dùng dấu hiệu so sánh 2 được.
Khi đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có:
– Do xác định và liên tục trên [0;1] nên
là tích phân xác định nên hội tụ.
Vậy tích phân I4 hội tụ.